Question

5．已知函数f（x）=$\frac{1}{x-1}$，x∈[2，6]．
（1）证明f（x）是减函数；
（2）若函数g（x）=f（x）+sinα的最大值为0，求α的值．

Answer 1

分析 （1）证法一：设2≤x₁＜x₂≤6，作差判断出f（x₁）＞f（x₂），进而可得：函数$f（x）=\frac{1}{x-1}$在[2，6]上是减函数．
证法二：求导，根据x∈[2，6]时，f′（x）＜0恒成立，可得：函数$f（x）=\frac{1}{x-1}$在[2，6]上是减函数；
（2）由（1）知f（x）在[2，6]上单调递减，故1+sinα=0，进而得到答案．

解答 解：（1）证法一：
设2≤x₁＜x₂≤6，
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{1}{{{x_1}-1}}-\frac{1}{{{x_2}-1}}=\frac{{（{x_2}-1）-（{x_1}-1）}}{{（{x_1}-1）（{x_2}-1）}}$=$\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{（{x_1}-1）（{x_2}-1）}}$，…（4分）
由2≤x₁＜x₂≤6，得x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
于是f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），…（5分）
∴函数$f（x）=\frac{1}{x-1}$在[2，6]上是减函数． …（6分）
证法二：∵函数f（x）=$\frac{1}{x-1}$，
∴f′（x）=$\frac{-1}{（x-1）^{2}}$，
当x∈[2，6]时，f′（x）＜0恒成立，
故函数$f（x）=\frac{1}{x-1}$在[2，6]上是减函数；
（2）由（1）知f（x）在[2，6]上单调递减，
∴f（x）_max=f（2）=1．…（8分）
于是1+sinα=0，即sinα=-1，
∴$α=2kπ-\frac{π}{2}$，k∈Z． …（10分）

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数的最值及其几何意义，难度中档．