Question

10．四棱锥P-ABCD中，PC=AB=1，BC=a，∠ABC=60°，底面ABCD为平行四边形，PC⊥平面ABCD，点M，N分别为AD，PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAB；
（2）若∠PAB=90°，求二面角B-AP-D的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取PB为中点Q，连结NQ，QA，推导出四边形AMNQ为平行四边形，从而MN∥AQ，由此能证明MN∥平面PAB．
（2）以C为原点，CD为x轴，CA为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-AP-D的正弦值．

解答 证明：（1）取PB为中点Q，连结NQ，QA，
∵点M，N分别为AD，PC的中点，
∴QN是中位线，∴QN∥BC，
又∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC∥QN，
∵M是AD中点，∴QN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AD=AM，
∴四边形AMNQ为平行四边形，∴MN∥AQ，
又MN?平面PAB，AQ?平面PAB，
∴MN∥平面PAB．
解：（2）∵PC⊥平面ABCD，∴PC⊥AB，
又∵PA⊥AB，∴AB⊥面PAC，AB⊥AC，∴a=2，CD⊥AC，
以C为原点，CD为x轴，CA为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，$\sqrt{3}$，0），B（-1，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，1），
$\overrightarrow{AP}$=（0，-$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{AB}$=（-1，0，0），$\overrightarrow{AD}$=（1，-$\sqrt{3}$，0），
设面ABP的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=-x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=-\sqrt{3}y+z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，$\sqrt{3}$），
设面APD的法向量$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=a-\sqrt{3}b=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=-\sqrt{3}b+c=0}\end{array}\right.$，取a=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，1，\sqrt{3}$），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{2\sqrt{7}}$，
∴二面角B-AP-D的正弦值为$\sqrt{1-（\frac{4}{2\sqrt{7}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．