Question

19．为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（含80分）．

（Ⅰ）（i）请根据图示，将2×2列联表补充完整；

	优分	非优分	总计
男生
女生
总计			50

（ii）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？
（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求成绩为优分人数X的期望和方差．

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

附：K²⁼$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据图示，将2×2列联表即可补充完整，假设X＜100：该学科成绩与性别无关，利用观测值即可判断出结论．
（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率0.4视作概率，设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，人数为X，则X服从二项分布B（3，0.4），即可得出．

解答 解：（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整如下：

	优分	非优分	总计
男生	9	21	30
女生	11	9	20
总计	20	30	50

假设H₀：该学科成绩与性别无关，
则K²的观测值k=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{50×（9×9-11×21）^{2}}{20×30×20×30}$=3.125，
因为3.125＞2.706，
所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关．
（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，
因此需要将男女生成绩的优分频率f=$\frac{20}{50}$=0.4视作概率；
设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为X，
则X服从二项分布B（3，0.4），P（X=k）=${∁}_{3}^{k}0．{6}^{3-k}•0．{4}^{k}$．
P（X=0）=0.216，P（X=1）=0.432，P（X=2）=0.288，P（X=3）=0.064．

X	0	1	2	3
P	0.216	0.432	0.288	0.064

EX=3×0.4=1.2．

点评 本题考查了频率分布直方图、茎叶图、线性相关、概率统计计算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．