Question

4．（I）已知f（2x+1）=3x-2且f（a）=4，求a的值．
（2）已知f（x）=ax²+bx+c，若f（0）=0，且f（x+1）=f（x）+x+1，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）解法一，求f（x）的解析式，当x=a时，值等于4，求解a的值，解法二：根据复合函数的性质，值域相同，则有：3x-2=4，那么：2x+1=a，即可求解a的值．
（2）f（0）=0，且f（x+1）=f（x）+x+1，待定系数法求解即可．

解答 解：解法一，
由题意：f（2x+1）=3x-2=（2x+1）+x-3=（2x+1）+$\frac{1}{2}$（2x+1）-$\frac{7}{2}$=$\frac{3}{2}（2x+1）-\frac{7}{2}$
∴f（x）=$\frac{3}{2}x-\frac{7}{2}$
∵f（a）=4
则有：$\frac{3}{2}a-\frac{7}{2}=4$
解得：a=5．
解法二：
根据复合函数的性质，值域相同，则有：3x-2=4，
解得：x=2
∵2x+1=a，
∴a=5
所以a的值为5．
（2）由题意：f（x）=ax²+bx+c，
∵f（0）=0，
∴c=0，
则f（x）=ax²+bx
又∵f（x+1）=f（x）+x+1，
则有：ax²+bx+x+1=a（x+1）²+b（x+1）
解得：a=b=$\frac{1}{2}$
所以f（x）的解析式为f（x）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x．

点评 本题考查了复合函数解析式的求法，二次函数的解析式求法，利用待定系数法．属于基础题