Question

11．设M，N是抛物线y²=4x上分别位于x轴两侧的两个动点，且$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，过点A（4，0）作MN的垂线与抛物线交于点P、Q两点，则四边形MPNQ面积的最小值为（　　）

• A． 80
• B． 100
• C． 120
• D． 160

Answer 1

分析 设直线MN的方程为x=my+t，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，可求t的值，即可求出|MN|关于m的表达式，同理求出|PQ|关于m的表达式，于是S=$\frac{1}{2}$|MN||PQ|，利用换元法求出S的最小值．

解答 解设直线MN方程为x=my+t，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x=my+t}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消元得：y²-4my-4t=0，
设M（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），N（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4t．
∵$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，∴$\frac{{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}}{16}$+y₁y₂=0，即y₁y₂=0（舍）或y₁y₂=-16．
∴|MN|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$$\sqrt{16{m}^{2}+64}$．
∵PQ⊥MN，且PQ经过点A（4，0），∴直线PQ的方程为x=-$\frac{1}{m}y+4$．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{m}y+4}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消元得：y²+$\frac{4}{m}y$-16=0．
设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），则y₃+y₄=-$\frac{4}{m}$，y₃y₄=-16．
∴|PQ|=$\sqrt{1+\frac{1}{{m}^{2}}}$$\sqrt{（{y}_{3}+{y}_{4}）^{2}-4{y}_{3}{y}_{4}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{{m}^{2}}}$$\sqrt{\frac{16}{{m}^{2}}+64}$．
∴四边形MPNQ面积S=$\frac{1}{2}$|MN||PQ|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{m}^{2}}$$\sqrt{16{m}^{2}+64}$$\sqrt{1+\frac{1}{{m}^{2}}}$$\sqrt{\frac{16}{{m}^{2}}+64}$=8$\sqrt{1+{m}^{2}}$$\sqrt{1+\frac{1}{{m}^{2}}}$$\sqrt{{m}^{2}+4}$$\sqrt{\frac{1}{{m}^{2}}+4}$
=8$\sqrt{（{m}^{2}+\frac{1}{{m}^{2}}+2）[4（{m}^{2}+\frac{1}{{m}^{2}}）+17]}$，
令m²+$\frac{1}{{m}^{2}}$=t，则t≥2，
∴S=8$\sqrt{（t+2）（4t+17）}$=8$\sqrt{4{t}^{2}+25t+34}$．∴S（t）在[2，+∞）上是增函数，
∴当t=2时，S取得最小值8$\sqrt{4×{2}^{2}+25×2+34}$=80．
故选：A．

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查四边形面积的计算，考查韦达定理的运用，属于中档题．