Question

20．设f（x）=lnx-x-k，x∈（0，+∞）．
（1）若f[f（1）]＜0，求实数k的取值范围；
（2）设函数g（x）=f（x）-kx²的单调递增区间为D，对任意给定的k＞0，均有D⊆（0，a]（a为与k无关的常数），求证：a的最小值为1．
（3）求证：f（x）在区间（0，e）上有两个零点的充要条件为k∈（1-e，-1）．

Answer 1

分析 （1）利用f[f（1）]＜0，推出k的不等式，求解即可．
（2）求出$g'（x）=\frac{1}{x}-1-2kx＞0$，求出g（x）的单调递增区间，讨论0＜a＜1，当给定的$k＜\frac{1-a}{{2{a^2}}}$时，D⊆（0，a]不成立．得到a≥1，然后推出a的最小值．
（3）设f（x）=lnx-x-k，x∈（0，e），求出导数，得到函数的单调区间，利用f（x）在区间（0，e）上有两个零点的必要条件为$\left\{\begin{array}{l}f（1）＞0\\ f（e）＜0\end{array}\right.$，转化求解k的取值范围．

解答 解：（1）f[f（1）]＜0，即f（-1-k）＜0，即ln（-1-k）-（-1-k）-k＜0，
即ln（-1-k）＜-1，
所以$k∈（-\frac{e+1}{e}，-1）$．
（2）$g'（x）=\frac{1}{x}-1-2kx＞0$得2kx²+x-1＜0，注意到$x＞0，得0＜x＜\frac{{-1+\sqrt{1+8k}}}{4k}$，
所以g（x）的单调递增区间为$（0，\frac{{-1+\sqrt{1+8k}}}{4k}）$．
若0＜a＜1，则令$\frac{{-1+\sqrt{1+8k}}}{4k}＞a$，得$k＜\frac{1-a}{{2{a^2}}}$，
这说明当给定的$k＜\frac{1-a}{{2{a^2}}}$时，D⊆（0，a]不成立．
所以a≥1，又a=1时，$D⊆（0，a]?\frac{{-1+\sqrt{1+8k}}}{4k}≤1?\sqrt{1+8k}≤4k+1?{k^2}≥0$，这显然正确，
所以a=1满足条件，
故a的最小值为1．
（3）证明：设f（x）=lnx-x-k，x∈（0，e），则$f'（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$，
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，
f（1）=-1-k，f（e）=1-e-k，
因此f（x）在区间（0，e）上有两个零点的必要条件为$\left\{\begin{array}{l}f（1）＞0\\ f（e）＜0\end{array}\right.$，即1-e＜k＜-1．
当$\left\{\begin{array}{l}f（1）＞0\\ f（e）＜0\end{array}\right.$，即1-e＜k＜-1时，
因为f（e^k）=-e^k＜0，e^k＜1，结合f（x）在（0，1）上单调递增，
得在区间f（x）在（0，1）上存在唯一零点，
而$\left\{\begin{array}{l}f（1）＞0\\ f（e）＜0\end{array}\right.$，及f（x）在（1，e）上单调递减，
得f（x）在区间（1，e）上存在唯一零点，
故f（x）在区间（0，e）上有两个零点的充要条件为1-e＜k＜-1．
故所求的k的取值范围为（1-e，-1）．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值，函数零点的条件，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，难度比较大．