Question

在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边，a+c=2b，A-C=

2π

3

．求sinB的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：由内角和定理和A-C=

2π

3

求出A、C的表达式，利用正弦定理化简a+c=2b，利用两角和与差、二倍角的正弦公式化简，再由内角的范围和平方关系求出sin

B

2

、cos

B

2

，最后由二倍角的正弦公式求出sinB的值．

解答： 解：由A+B+C=π得，A+C=π-B，①
由题意得，A-C=

2π

3

，②，
联立①②解得，A=

5π

6

-

B

2

，C=

π

6

-

B

2

，
因为a+c=2b，所以由正弦定理得sinA+sinC=2sinB，
则sin（

5π

6

-

B

2

）+sin（

π

6

-

B

2

）=2sinB，

1

2

cos

B

2

+

3

2

sin

B

2

+

1

2

cos

B

2

-

3

2

sin

B

2

=2sinB
cos

B

2

=4sin

B

2

cos

B

2

，①
由0＜B＜π得，0＜

B

2

＜

π

2

，则cos

B

2

＞0，
代入①化简得，sin

B

2

=

1

4

，则cos

B

2

=

1-sin2 B 2

=

15

4

，
所以sinB=2sin

B

2

cos

B

2

=2×

1

4

×

15

4

=

15

8

．

点评：本题考查正弦定理，内角和定理，两角和与差、二倍角的正弦公式，注意内角的范围，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．