Question

点P在双曲线：

x2

a2

-

y2

b2

 =1（a＞0，b＞0）上，F₁，F₂是这条双曲线的两个焦点，∠F₁PF₂=90°，且△F₁PF₂的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：通过|PF₂|，|PF₁|，|F1F₂|成等差数列，分别设为m-d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理求出m=4d=8a，
c=

5d

2

，由此求得离心率的值．

解答：解：因为△F₁PF₂的三条边长成等差数列，不妨设|PF₂|，|PF₁|，|F1F₂|成等差数列，
分别设为m-d，m，m+d，
则由双曲线定义和勾股定理可知：m-（m-d）=2a，m+d=2c，（m-d）²+m²=（m+d）²，
解得m=4d=8a，c=

5d

2

，故离心率e=

c

a

=

5d 2

d 2

=5，
故选D．

点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，以及双曲线的简单性质的应用，属于中档题．