Question

（理）若二次项系数为a的二次函数f（x）同时满足如下三个条件，求f（x）的解析式．
①f（3-x）=f（x）；②f（1）=0；③对任意实数x，都有f（x）恒成立．

Answer 1

【答案】分析：方法一：设f（x）=ax²+bx+c（a＞0），由已知①②可得，然后由f（x）可得恒成立，结合二次函数的性质可求a，进而可求函数解析式
方法二：设，由f（1）=0，可得，而f（x）=a≥-恒成立，则-≥，且a＞0，可求a，从而可求
解答：解：方法一：利用一般解析式．设f（x）=ax²+bx+c（a＞0），
依题意得：⇒
由f（x）得恒成立，
∴即
∴a=1，
∴f（x）=x²-3x+2
方法二：依题意可设，由，，
从而f（x）=a≥-恒成立，则-≥，且a＞0，
∴≤0，a＞0，∴a=1．
从而f（x）==x²-3x+2
点评：本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的函数解析式，解答本题的关键是由二次函数的性质求解f（x）恒成立问题．