Question

9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n+2=2a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2log₂a_n，数列{$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$}的前n项和为T_n，证明：T_n＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根据a_n=S_n-S_n-1（n≥2）得出{a_n}是等比数列，利用等比数列的通项公式得出a_n；
（2）计算$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），再使用列项法求出T_n，从而得出结论．

解答 解：（1）由S_n+2=2a_n，当n=1时，a₁+2=2a₁，解得a₁=2；
当n≥2时，S_n-1+2=2a_n-1有a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1，
数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n=2×2^n-1=2ⁿ．
（2）由（I）得b_n=2log₂2ⁿ=2n，∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）．
T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$）+…+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{4}$[1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$]
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了数列通项公式的求法，列项法求和，属于中档题．