Question

在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1=1，b1=2，bn＞0（n∈N*），且b1，a2，b2成等差数列，a2，b2，a3+2成等比数列，数列{bn}的前n项和为Sn．

（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）若Sn+an＞m对任意的正整数n恒成立，求常数m的取值范围．

 

Answer 1

（Ⅰ）an=3n﹣2，bn=2•3n﹣1；（Ⅱ）{m|m<3}

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q（q＞0）,由已知得,解得d=q=3,所以an=3n﹣2，bn=2•3n﹣1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知,从而,则3n+3n﹣3＞m对任意的正整数n恒成立,构造函数f（n）=3n+3n﹣3,则

f（n+1）﹣f（n）=2•3n﹣3＞0即f（n）单调递增，所以m＜f（1）=3,答案为{m|m<3}.

试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q（q＞0）．

由题意，得，解得d=q=3．

∴an=3n﹣2，bn=2•3n﹣1；

（Ⅱ）∵Sn+an＞m对任意的正整数n恒成立，

∴3n+3n﹣3＞m对任意的正整数n恒成立，

令f（n）=3n+3n﹣3，则f（n+1）﹣f（n）=2•3n﹣3＞0，

∴f（n）单调递增，

∴m＜f（1）=3．

∴常数m的取值范围{m|m<3}

考点：1.等差数列和等比数列的通项公式;2.等比数列的求和公式;3.与正整数有关的不等式恒成立问题