Question

6．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，对角线A₁C与棱CB、CD、CC₁所成角分别为α、β、γ，则sin²α+sin²β+sin²γ=2．

Answer 1

分析 由已知得sin²α+sin²β+sin²γ=$\frac{{A}_{1}{B}^{2}}{{A}_{1}{C}^{2}}$+$\frac{{A}_{1}{D}^{2}}{{A}_{1}{C}^{2}}$+$\frac{{A}_{1}{{C}_{1}}^{2}}{{A}_{1}{C}^{2}}$，由此能求出结果．

解答 解：长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，对角线A₁C与棱CB、CD、CC₁所成角分别为α、β、γ，
∴sin²α+sin²β+sin²γ=$\frac{{A}_{1}{B}^{2}}{{A}_{1}{C}^{2}}$+$\frac{{A}_{1}{D}^{2}}{{A}_{1}{C}^{2}}$+$\frac{{A}_{1}{{C}_{1}}^{2}}{{A}_{1}{C}^{2}}$
=$\frac{A{{A}_{1}}^{2}+A{B}^{2}}{{A}_{1}{C}^{2}}$+$\frac{A{{A}_{1}}^{2}+A{D}^{2}}{{A}_{1}{C}^{2}}$+$\frac{{A}_{1}{{B}_{1}}^{2}+{B}_{1}{{C}_{1}}^{2}}{{A}_{1}{C}^{2}}$
=$\frac{2（A{{A}_{1}}^{2}+A{B}^{2}+A{D}^{2}）}{{A}_{1}{C}^{2}}$
=$\frac{2{{A}_{1}C}^{2}}{{A}_{1}{C}^{2}}$
=2．
故答案为：2．

点评 本题考查线面角的平方的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．