Question

17．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且c=2，2sinA=$\sqrt{3}$acosC．
（1）求角C的大小；
（2）若2sin2A+sin（2B+C）=sinC，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理得，sinCsinA=$\sqrt{3}$sinAcosC，结合sin A＞0，利用同角三角函数基本关系式化简可求tanC=$\sqrt{3}$，结合角的范围即可得解C的值．
（2）利用三角函数恒等变换的应用化简可求4sin Acos A=2sin Bcos A，分类讨论，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）由已知得，csinA=$\sqrt{3}$acosC，
由正弦定理得，sin Csin A=$\sqrt{3}$sin Acos C．
又sin A＞0，
∴cos C≠0，sinC=$\sqrt{3}$cosC，tanC=$\sqrt{3}$，
∴C=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）由2sin 2A+sin（2B+C）=sinC，
可得：2sin 2A=sin C-sin（2B+C），
∴4sin Acos A=sin（A+B）-sin[（π-A）+B]=sin（A+B）+sin（B-A）=2sin Bcos A．
当cos A=0时，A=$\frac{π}{2}$，此时B=$\frac{π}{6}$，
∵c=2，
∴b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，S_△ABC=$\frac{1}{2}$bc=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
当cos A≠0时，sin B=2sin A，
∴b=2a．由c²=a²+b²-2abcos C得，4=a²+b²-ab．
联立$\left\{\begin{array}{l}{b=2a}\\{{a}^{2}+{b}^{2}-ab=4}\end{array}\right.$，得$a=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，b=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
综上所述，△ABC的面积为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．…（14分）

点评 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题．