Question

16．设函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$））的最小正周期为π，且其图象关于直线x=$\frac{π}{12}$对称，则在下面结论中：
①图象关于点（$\frac{π}{6}$，0）对称； 
②图象关于点（$\frac{π}{3}$，0）对称；
 ③在[0，$\frac{π}{6}$]上是增函数；
④在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{12}$]上是增函数；
⑤由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整数倍．
正确结论的编号为②④．

Answer 1

分析 根据已知求出函数解析式为y=sin（2x+$\frac{π}{3}$），进而分析函数的对称性，单调性，周期性，可得答案．

解答 解：函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$））的最小正周期为π，
且其图象关于直线x=$\frac{π}{12}$对称，
则ω=2，φ=$\frac{π}{3}$，
故y=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
图象的对称中心坐标为：-$\frac{π}{6}$+$\frac{1}{2}$kπ，k∈Z，
故①图象关于点（$\frac{π}{6}$，0）对称，错误；
②图象关于点（$\frac{π}{3}$，0）对称，正确；
函数单调递增区间为：[-$\frac{5π}{12}$+$\frac{1}{2}$kπ，$\frac{π}{12}$+$\frac{1}{2}$kπ]，k∈Z，
故③在[0，$\frac{π}{6}$]上是增函数，错误；
④在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{12}$]上是增函数，正确；
⑤由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是$\frac{1}{2}$π的整数倍，错误．
故答案为：②④

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了三角函数的图象和性质，难度中档．