Question

A、B是椭圆上的点，O为原点，OA与OB斜率的乘积等于-2，．
（I）求证：点C在另一个椭圆上；
（II）求四边形OACB的面积．

Answer 1

【答案】分析：（I）先设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x，y），结合直线的斜率公式得k_OA•k_OB，再利用向量关系式得到：x=x₁+x₂，y=y₁+y₁，最后得到点C的坐标适合椭圆的方程，从而证得点C在另一个椭圆上；
（II）设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为-，点A坐标方程组，|x₁+x₂|=．|OA|=|，tan∠AOB=|，再由S=2S_△AOB=|OA||OB|sin∠AOB
=，能求出四边形OACB的面积．
解答：解：（I）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x，y），则x₁²+=1，
且k_OA•k_OB==0，…（2分）
），
于是x=x₁+x₂，y=y₁+y₁，
∴x²+=（x₁+x₂）²+
=x₁²+=2，
于是，=1上．  …（5分）
（II）设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为-，
点A坐标方程组，∴|x₁+x₂|=．…（8分）
|OA|=|，
tan∠AOB=|，
S=2S_△AOB=|OA||OB|sin∠AOB
=
=
=
=．
点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．