Question

12．已知$\overrightarrow{m}$=（2cosA，1），$\overrightarrow{n}$=（1，（sin（A+$\frac{π}{6}$）），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，在△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，a=2$\sqrt{3}$，c=4
（Ⅰ）求A值；
（Ⅱ）求b和△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）根据所给的向量的坐标和向量平行的条件，写出向量平行的充要条件，得到关于角A的三角函数关系，本题要求角A的大小，利用整理出来的三角函数值和角是三角形的内角，得到结果．
（II）本题是一个解三角形问题，应用上一问给出的结果，根据正弦定理把边之间的关系变化为角之间的关系，利用三角形内角和定理及三角形面积公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{m}$=（2cosA，1），$\overrightarrow{n}$=（1，（sin（A+$\frac{π}{6}$）），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，
∴1-2cosAsin（A+$\frac{π}{6}$）=0，可得：$\sqrt{3}$sinAcosA+cos²A=1，
∴可得：sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵a＜c，A∈（0，$\frac{π}{2}$），2A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，解得：A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵A=$\frac{π}{3}$，a=2$\sqrt{3}$，c=4，
∴由正弦定理可得：sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{4×\frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{3}}$=1，
又∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{2}$，B=π-A-C=$\frac{π}{6}$，
∴b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{2\sqrt{3}×\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×2×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了向量平行的运算，正弦定理，三角形内角和定理，三角形面积公式的综合应用，条件中给出两个向量的坐标，代入共线的充要条件的公式运算即可，属于中档题．