Question

（本小题满分13分）已知数列， 满足条件：， ．

（Ⅰ）求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和，并求使得对任意都成立的正整数的最小值．

Answer 1

（Ⅰ） ；（Ⅱ）5

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由数列满足，通过构造即可得到数列为等比数列，并求出数列的通项，由此得到数列的通项公式.

（Ⅱ）由数列满足.由裂项求和法即可得到数列的前项和.又由对任意都成立，所以要求出的最小值，通过对数列通项的研究即可得数列是一个递增的数列，由此可得的最小值为.再根据即可求出结论.

试题解析：（Ⅰ）∵

∴，∵， 2分

∴数列是首项为2，公比为2的等比数列 ．

∴∴ 5分

（Ⅱ）∵， 7分

∴

． 9分

∵，又，

∴N*，即数列是递增数列．

∴当时，取得最小值． 11分

要使得对任意N*都成立，结合（Ⅰ）的结果，只需，由此得．∴正整数的最小值是5． 13分

考点：1.等比数列的性质.2.裂项法求和.3.数列与不等式的关系.