Question

20．如图，ABCD是圆O的内接正方形，E是劣弧CD上一点，EA交BD于F，EB交AC于G，且GF⊥AE．
（1）求证：AF•AE=AO•AC；
（2）求证：$\frac{{2A{O^2}}}{{A{F^2}}}-\frac{FG}{AF}=1$．

Answer 1

分析 （1）连接CE，由题意可知∠AOF=90°，由AC为圆的直径，∠AEC=90°，因此△AOF∽△AEC，根据三角形相似的性质，$\frac{AF}{AO}$=$\frac{AC}{AE}$，可知：AF•AE=AO•AC；
（2）设∠GOF=θ，⊙O的半径为1，则EC=2，分别求得AF和FG，在Rt△PMN中，∠AEB=∠FEG=∠ADB=45°，EF=FG，AF+FE=AE，整理得：1+tanθ=2cos²θ，由cosθ=$\frac{AO}{AF}$，tanθ=$\frac{FG}{AF}$，即可证明$\frac{{2A{O^2}}}{{A{F^2}}}-\frac{FG}{AF}=1$．

解答 解：（1）证明：连接CE，
∵ABCD是圆O的内接正方形，AC和BD为三角形的对角线，
∴AC⊥BD，
∴∠AOF=90°，
由AC为圆的直径，
∴∠AEC=90°，
∴△AOF∽△AEC，
∴$\frac{AF}{AO}$=$\frac{AC}{AE}$，
∴AF•AE=AO•AC；
（2）证明：设∠GOF=θ，⊙O的半径为1，则EC=2，AE=AC•cosθ=2cosθ，
AF=$\frac{AO}{cosθ}$=$\frac{1}{cosθ}$，
FG=AF•tanθ=$\frac{tanθ}{cosθ}$，
在Rt△PMN中，∠AEB=∠FEG=∠ADB=45°，
∴EF=FG，
∵AF+FE=AE，
∴$\frac{1}{cosθ}$+$\frac{tanθ}{cosθ}$=2cosθ，
∴1+tanθ=2cos²θ，
∴2cos²θ-tanθ=1，
在RT△AOF中，cosθ=$\frac{AO}{AF}$，
在RT△AFG中，tanθ=$\frac{FG}{AF}$，
∴$\frac{{2A{O^2}}}{{A{F^2}}}-\frac{FG}{AF}=1$．

点评 本题考查圆方程的综合应用，考查正方形的性质，圆周角定理，相似三角形的性质，考查数形结合思想，属于中档题．