Question

10．已知点P为双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$右支上的一点，F₁，F₂分别为双曲线的左、右焦点，点I为△PF₁F₂的内心，若${S_{△IP{F_1}}}={S_{△IP{F_2}}}+λ•{S_{△I{F_1}{F_2}}}$成立，则λ的值为$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 设△PF₁F₂的内切圆半径为r，由|PF₁|-|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c，用△PF₁F₂的边长和r表示出等式中的三角形的面积，解此等式求出λ．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$的a=4，b=3，c=$\sqrt{16+9}$=5，
设△PF₁F₂的内切圆半径为r，
由双曲线的定义得|PF₁|-|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c，
S_{${\;}_{△IP{F}_{1}}$} =$\frac{1}{2}$|PF₁|•r，S${\;}_{△IP{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF₂|•r，
S_△${\;}_{I{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•2c•r=cr，
由${S_{△IP{F_1}}}={S_{△IP{F_2}}}+λ•{S_{△I{F_1}{F_2}}}$得，
$\frac{1}{2}$|PF₁|•r=$\frac{1}{2}$|PF₂|•r+λcr，
故λ=$\frac{|P{F}_{1}|-|P{F}_{2}|}{2c}$=$\frac{a}{c}$=$\frac{4}{5}$，
故答案为：$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查双曲线的定义和简单性质，利用待定系数法求出参数的值是关键，考查方程思想和运算能力，属于基础题．