Question

1．若a_n＞0，a₁=2，且当n≥2时，有a_n+a_n-1=$\frac{n}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$+2，求数列{$\frac{1}{（{a}_{n}-1）^{2}}$}的所有项之和．

Answer 1

分析 先根据累加法求出（a_n-1）²=$\frac{n（n+1）}{2}$，再裂项求和求出数列{$\frac{1}{（{a}_{n}-1）^{2}}$}的所有项之和．

解答 解：由a_n+a_n-1=$\frac{n}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$+2，得到a_n²-a_n-1²-2a_n+2a_n-1=n，
∴a₂²-a₁²-2a₂+2a₁=2，
a₃²-a₂²-2a₃+2a₂=3，
a₄²-a₃²-2a₄+2a₃=4，
…，
累加得到a_n²-a₁²-2a_n+2a₁=2+3+…+n，
∴a_n²-2a_n+1=1+2+3+…+n，
∴（a_n-1）²=$\frac{n（n+1）}{2}$，
当n=1时，也成立，
∴（a_n-1）²=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{（{a}_{n}-1）^{2}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
∴$\frac{1}{（{a}_{1}-1）^{2}}$+$\frac{1}{（{a}_{2}-1）^{2}}$+…+$\frac{1}{（{a}_{n}-1）^{2}}$=2（1-$\frac{1}{2}$）+2（$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$）+2（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查了累加法求数列的通项公式，以及裂项求和，关键是转化，属于中档题．