Question

9．如图，在凸四边形ABCD中，AB=1，BC=$\sqrt{3}$，AC⊥DC，CD=$\sqrt{3}$AC．设∠ABC=θ．
（1）若θ=30°，求AD的长；
（2）当θ变化时，求BD的最大值．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，利用余弦定理可求AC，进而在△ACD中，利用勾股定理可求AD的值．
（2）设AC=x，CD=$\sqrt{3}$x，在△ABC中，利用余弦定理可求x²=4-2$\sqrt{3}$cosθ，利用正弦定理可得sin∠ACB=$\frac{sinθ}{x}$，进而利用三角函数恒等变换的应用，余弦定理可求BD=$\sqrt{15+12sin（θ-\frac{π}{3}）}$，结合范围θ∈（0，π），利用正弦函数的图象和性质可求BD的最大值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）在△ABC中，AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC，
∴AC²=1+3-2$\sqrt{3}$cos30°=1，
∴AC=1…（2分）
在△ACD中，AD²=AC²+DC²=4AC²=4，
∴AD=2．…（4分）
（2）设AC=x，CD=$\sqrt{3}$x，
在△ABC中，AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC，
x²=4-2$\sqrt{3}$cosθ，…（5分）
∵$\frac{AC}{sinθ}$=$\frac{AB}{sin∠ACB}=\frac{1}{sin∠ACB}$，
∴sin∠ACB=$\frac{sinθ}{x}$．…（7分）
在△BCD中，BD=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（\sqrt{3}x）^{2}-2\sqrt{3}•（\sqrt{3}x）cos（\frac{π}{2}+∠ACB）}$=$\sqrt{3+3{x}^{2}+6xsin∠ACB}$
=$\sqrt{3+12-6\sqrt{3}cosθ+6x\frac{sinθ}{x}}$=$\sqrt{15-6\sqrt{3}cosθ+6sinθ}$=$\sqrt{15+12（\frac{1}{2}sinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ）}$=$\sqrt{15+12sin（θ-\frac{π}{3}）}$，…（10分）
∵θ∈（0，π），
∴θ-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），当θ-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，θ=$\frac{5π}{6}$时BD取到最大值3$\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题主要考查了余弦定理，勾股定理三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了数形结合思想，属于中档题．