Question

18．如图“月亮图”是由曲线C₁与C₂构成，曲线C₁是以原点O为中心，F₁（-1，0），F₂（1，0）为焦点的椭圆的一部分，曲线C₂是以O为顶点，F₂为焦点的抛物线的一部分，A（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{6}$）是两条曲线的一个交点．
（Ⅰ）求曲线C₁和C₂的方程；
（Ⅱ）过F₂作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线C₁，C₂依次交于B，C，D，E四点，若G为CD的中点、H为BE的中点，问：$\frac{|BE|•|G{F}_{2}|}{|CD|•|H{F}_{2}|}$是否为定值？若是求出该定值；若不是说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设曲线C₂所在的抛物线的方程为y²=2px，将A（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{6}$）代入可得p的值，利用椭圆的定义，可得曲线C₁所在的椭圆的方程；
（Ⅱ）设B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），过F₂与x轴不垂直的直线为x=ty+1，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得|y₁-y₂|=$\frac{\sqrt{（16t）^{2}-4•（-64）•（9+8{t}^{2}）}}{9+8{t}^{2}}$，同理可得|y₃-y₄|=$\sqrt{16{t}^{2}+16}$，进而可得$\frac{|BE|•|G{F}_{2}|}{|CD|•|H{F}_{2}|}$为定值．

解答 解：（Ⅰ）设曲线C₂所在的抛物线的方程为y²=2px，将A（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{6}$）代入可得6=2p×$\frac{3}{2}$，∴p=2
∴曲线C₂所在的抛物线方程为：y²=4x…（2分）
∴c=1，2a=$\sqrt{（\frac{3}{2}+1）^{2}+（\sqrt{6}）^{2}}$+$\sqrt{（\frac{3}{2}-1）^{2}+（\sqrt{6}）^{2}}$=6，
∴曲线C₁所在的椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}$=1．                             …（4分）
（Ⅱ）设B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），过F₂与x轴不垂直的直线为x=ty+1，与椭圆方程联立，消去x可得（9+8t²）y²+16ty-64=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{16t}{9+8{t}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{64}{9+8{t}^{2}}$-，…（6分）
∴|y₁-y₂|=$\frac{\sqrt{（16t）^{2}-4•（-64）•（9+8{t}^{2}）}}{9+8{t}^{2}}$
直线x=ty+1，与抛物线方程联立，消去x可得y²-4ty-4=0，∴y₃+y₄=4t，y₃y₄=-4…（8分）
∴|y₃-y₄|=$\sqrt{16{t}^{2}+16}$
∴$\frac{|BE|•|G{F}_{2}|}{|CD|•|H{F}_{2}|}$=$\frac{|{y}_{1}-{y}_{2}|•\frac{1}{2}|{y}_{3}+{y}_{4}|}{|{y}_{3}-{y}_{4}|•\frac{1}{2}|{y}_{1}+{y}_{2}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{（16t）^{2}-4（-64）（9+8{t}^{2}）}}{9+8{t}^{2}}•|4t|}{\sqrt{16{t}^{2}+16•\frac{|16t|}{9+8{t}^{2}}}}$=3
即$\frac{|BE|•|G{F}_{2}|}{|CD|•|H{F}_{2}|}$为定值3                     …（13分）

点评 本题考查椭圆、抛物线的标准方程，考查直线与椭圆、抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，联立方程，正确运用韦达定理是关键．