题目内容
8．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c．若$A=\frac{π}{4}，B-C=\frac{π}{2}，a=\sqrt{2}$，则△ABC的面积为（ ）| A． | $\frac{1}{4}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | D． | $\sqrt{2}$ |
分析 由题意和内角和定理求出B、C，由正弦定理求出b，代入三角形的面积公式后，利用二倍角的正弦公式化简，即可求出△ABC的面积．
解答 解：∵$A=\frac{π}{4}，B-C=\frac{π}{2}$，A+B+C=π，
∴$\frac{π}{4}+\frac{π}{2}+C+C=π$，解得C=$\frac{π}{8}$，则B=$\frac{5π}{8}$，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$得：b=$\frac{a•sinB}{sinA}$=$\frac{\sqrt{2}•sin\frac{5π}{8}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$2sin\frac{5π}{8}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2sin\frac{5π}{8}×sin\frac{π}{8}$
=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2cos\frac{π}{8}×sin\frac{π}{8}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×sin\frac{π}{4}$=$\frac{1}{2}$，
故选：B．
点评 本题考查正弦定理，二倍角的正弦公式，以及三角形的面积公式的应用，属于中档题．
练习册系列答案
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18．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x-1）f′（x）≤0，则必有（ ）
| A． | f（-3）+f（3）＜2f（1） | B． | f（-3）+f（7）＞2f（1） | C． | f（-3）+f（3）≤2f（1） | D． | f（-3）+f（7）≥2f（1） |
19．已知可导函数f（x）（x∈R）的导函数f′（x）满足f′（x）＞f（x），则当a≥0时，f（a）和eaf（0）（e是自然对数的底数）大小关系为（ ）
| A． | f（a）≥eaf（0） | B． | f（a）＞eaf（0） | C． | f（a）≤eaf（0） | D． | f（a）＜eaf（0） |
16．已知函数f（x）的导函数图象如图所示，若△ABC为钝角三角形，且∠C为钝角，则一定成立的是（ ）
| A． | f（cosA）＜f（cosB） | B． | f（sinA）＜f（cosB） | C． | f（sinA）＞f（cosB） | D． | f（sinA）＞f（sinB） |