Question

（本题满分15分）

数列首项，前项和与之间满足．

（Ⅰ）求证：数列是等差数列；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）设存在正数，使对都成立，求的最大值．

 

Answer 1

（Ⅰ）因为时，得

由题意

又 是以为首项，为公差的等差数列．

（Ⅱ）；(Ⅲ) 的最大值是．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）将已知直接代入公式中，即可得到，两边同除以即可得出结论；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求出，运用公式即可求出数列的通项公式；(Ⅲ)记 ，根据数列的单调性判断其为单调递增的，所以使得恒成立，只需满足即可. 而由的单调性知，，即可求出的最大值.

试题解析：（Ⅰ）因为时，得

由题意

又因为 是以为首项，为公差的等差数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）有

时，

又

(Ⅲ) 设

则

在上递增 故使恒成立，只需．

又 又 ，

所以，的最大值是．

考点：等差数列；数列的单调性.