题目内容

18．已知x，y∈R，满足x2+2xy+4y2=6，则z=x2+4y2的最小值为4．

分析 将x2+2xy+4y2=（x+2y）2-2xy=6，那么（x+2y）2=2xy+6，z=x2+4y2=（x+2y）2-4xy，利用基本等式的性质，即可求解．

解答 解：由题意x2+2xy+4y2=（x+2y）2-2xy=6，那么（x+2y）2=2xy+6，
∵（x+2y）2≥4x•2y=8xy，当且仅当x=2y时取等号．
则：2xy+6≥8xy
解得：xy≤1
z=x2+4y2=（x+2y）2-4xy≥8xy-4yx=4．
所以z=x2+4y2的最小值为4．
故答案为：4．

点评 本题考查了基本不等式的变形和灵活的运用能力．属于中档题．

练习册系列答案
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