Question

设已知和在处有相同的切线.

（1）求的解析式；

（2）求在上的最小值；

（3）若对恒成立，求实数的取值范围.

 

Answer 1

（1），；（2）

（3）.

【解析】

试题分析：（1）先求的导函数，再由题设得：.，从而可列方程组解得的值；

（2）利用导数判函数的单调性，进而求出函数在上的最小值；要注意对 的取值分类讨论；

（3）令，利用导数研究此函数的极值，由其极小值非负可求实数的取值范围.

试题解析：【解析】
（1）

依题意，即 ，

（4分）

（2）

在上递减，在递增

①当时

在递减，在递增

②当时 在递增

（9分）

（3）令

由题意时 恒成立

在 上只可能有一个极值点

①当 即 时， 在递增

不合题意

②当 ，即 时 符合题意

③当，即 时

在 上递减，在 上递增；

符合题意

综上所述实数的取值范围是：

考点：1、导数的几何意义；2、导数在研究函数性质中的应用；3、等价转化的思想与分类讨论的思想.