题目内容

20．某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月增加2万元．如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本．据测算，添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入g（n）是生产时间n个月的二次函数g（n）=n2+kn（k是常数），且前3个月的累计生产净收入可达309万，从第6个月开始，每个月的生产净收入都与第5个月相同．同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元．
（1）求前8个月的累计生产净收入g（8）的值；
（2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入．

分析 （1）根据g（3）计算k，再计算g（5）和g（5）-g（4），于是g（8）=g（5）+3[g（5）-g（4）]；
（2）求出投资前后前n个月的总收入，列不等式解出n的范围即可．

解答 解：（1）据题意g（3）=32+3k=309，解得k=100，
∴g（n）=n2+100n，（n≤5）
第5个月的净收入为g（5）-g（4）=109万元，
所以，g（8）=g（5）+3×109=852万元．
（2）g（n）=$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}+100n，n≤5}\\{g（5）+109（n-5），n＞5}\end{array}\right.$即$g（n）=\left\{\begin{array}{l}{n^2}+100n，（n≤5）\\ 109n-20，（n＞5）\end{array}\right.$﹒
若不投资改造，则前n个月的总罚款3n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n2+2n，
令g（n）-500+100＞70n-（n2+2n），
得：g（n）+n2-68n-400＞0．
显然当n≤5时，上式不成立；
当n＞5时，109n-20+n2-68n-400＞0，即n（n+41）＞420，
又n∈N，解得n≥9．
所以，经过9个月投资开始见效．

点评 本题考查了分段函数的应用，数列求和，属于中档题．

练习册系列答案
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