Question

2．设函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）为偶函数，则φ=（　　）

• A． $\frac{π}{2}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 利用辅助角公式化积，然后利用偶函数的概念可得sin（-2x+φ+$\frac{π}{4}$）=sin（2x+φ+$\frac{π}{4}$），进一步得到-2x+φ+$\frac{π}{4}$=2x+φ+$\frac{π}{4}$+2kπ，或-2x+φ+$\frac{π}{4}$+2x+φ+$\frac{π}{4}$=π+kπ，由此求得满足条件的φ．

解答 解：f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=$\sqrt{2}sin（2x+φ+\frac{π}{4}）$，
∵函数f（x）为偶函数，
∴$f（-x）-f（x）=\sqrt{2}sin（-2x+φ+\frac{π}{4}）$$-\sqrt{2}sin（2x+φ+\frac{π}{4}）$=0，
即sin（-2x+φ+$\frac{π}{4}$）=sin（2x+φ+$\frac{π}{4}$），
∴-2x+φ+$\frac{π}{4}$=2x+φ+$\frac{π}{4}$+2kπ，或-2x+φ+$\frac{π}{4}$+2x+φ+$\frac{π}{4}$=π+kπ，
即x=-$\frac{kπ}{2}，k∈Z$（舍）或φ=$\frac{π}{4}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$．
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．