题目内容

14．已知函数f（x）=$\frac{a（x-1）}{x+1}$-lnx在[1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围为（　　）
A．a＜1B．a＜2C．a≤2D．a≤3

分析 根据题意，已知f（x）在区间[1，+∞）上是减函数，即f′（x）≤0在区间[1，+∞）上恒成立，对于恒成立往往是把字母变量放在一边即参变量分离，另一边转化为求函数在定义域下的最值，即可求解．

解答 解：∵f（x）=$\frac{a（x-1）}{x+1}$-lnx，
∴f′（x）=$\frac{2a}{（x+1）^{2}}$-$\frac{1}{x}$，
∵f（x）在[1，+∞）上为减函数，
∴x∈[1，+∞）时，f′（x）=$\frac{2a}{（x+1）^{2}}$-$\frac{1}{x}$≤0恒成立．
即2a≤x+$\frac{1}{x}$+2恒成立．
∵x∈[1，+∞）时，x+$\frac{1}{x}$+2≥4，
∴2a≤4，
∴a≤2．
故选：C．

点评 本题主要考查了根据函数单调性求参数范围的问题，解题的关键将题目转化成f′（x）≤0在区间[1，+∞）上恒成立进行求解，同时考查了参数分离法，属于中档题．

练习册系列答案
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A．向左平移$\frac{1}{2}$个单位长度B．向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度
C．向右平移$\frac{1}{2}$个单位长度D．向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度
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3．函数f（x）=$\frac{{\sqrt{x-2}}}{{2\sqrt{x+1}}}$的定义域是（　　）
A．（-1，+∞）B．[2，+∞）C．（-∞，2]D．（-1，2]
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（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，该柜台一天的利润f（x）最大，并求出f（x）的最大值g（a）．

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