Question

设函数       其中常数m为整数.

 (1) 当m为何值时,

 (2) 定理: 若函数g(x) 在[a, b ]上连续,且g(a) 与g(b)异号,则至少存在一点x₀∈(a,b),使g(x₀)=0.

 试用上述定理证明:当整数m>1时,方程f(x)= 0,在[e^-ｍ-m ,e^2ｍ-m ]内有两个实根.

Answer 1

（I）解：函数f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)连续，且

当x∈(-m,1-m)时,f ^’（x）<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1-m)

当x∈(1-m, +∞)时,f ^’（x）>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1-m)

根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m为极小值，而且

对x∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m

故当整数m≤1时，f(x) ≥1-m≥0

(II)证明：由（I）知，当整数m>1时，f(1-m)=1-m<0,

函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续减函数.

由所给定理知，存在唯一的

而当整数m>1时，

类似地，当整数m>1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续增函数且 f(1-m)与异号，由所给定理知，存在唯一的

故当m>1时，方程f(x)=0在内有两个实根。