Question

14．已知函数f（x）=x²+4ax+2a+6．
（1）若函数f（x）=log₂  f（x）的最小值为2，求a的值；
（2）若对任意x∈R，都有f（x）≥0成立，求函数g（a）=2-a|a+3|的值域．

Answer 1

分析 （1）因为函数f（x）=log₂  f（x）的最小值为2，即f（x）的最小值为4；关键在于2a+6-4a²=4．
（2）函数f（x）≥0恒成立，所以△≤0；同时可得g（a）在区间[-1，$\frac{3}{2}$]单调递减，即可求出g（a）的值域．

解答 解：（1）函数f（x）=log₂f（x）的最小值为2，即f（x）的最小值为4；
∵f（x）=x²+4ax+2a+6=（x+2a）²+2a+6-4a²≥4；
∴2a+6-4a²=4⇒a=1 或 a=$-\frac{1}{2}$；
（2）∵函数f（x）≥0恒成立，
∴△=16a²-4（2a+6）≤0，计算得出：-1$≤a≤\frac{3}{2}$；
∴g（a）=2-a|a+3|=2-a（a+3）=-（a+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{17}{4}$；
∵g（a）在区间[-1，$\frac{3}{2}$]单调递减；
∴g（a）_min=g（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{19}{4}$，g（a）_max=g（-1）=4．
∴函数g（a）的值域为[-$\frac{19}{4}$，4]．

点评 本题主要考查了函数恒成立，二次函数的性质以及函数的最值知识点，属中档题．