Question

1．若等边三角形ABC任一底边上的高为$\sqrt{3}$，平面上任意一点P满足$\overrightarrow{CP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CB}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CA}$，则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 建立适当的直角坐标系，由正三角形ABC，可设C（0，0），A（2，0），B（1，$\sqrt{3}$），利用平面向量的坐标表示，求出点P的坐标，congeal求出对应数量积．

解答 解：如图所示：

以C点为原点，以AC所在直线为x轴建立直角坐标系，
可得C（0，0），A（2，0），B（1，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{CB}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CA}$=（2，0），
∴$\overrightarrow{CP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CB}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CA}$=（-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∴P（-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∴$\overrightarrow{PA}$=（3，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），$\overrightarrow{PB}$=（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=3×2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{16}{3}$．
故答案为：$\frac{16}{3}$．

点评 本试题考查了平面向量的坐标表示与运算问题．也体现了向量的代数化手段的重要性，是基础题目．