Question

如图，向量

a

、

b

、

c

有公共起点，且满足

c

=

λa

+

μb

（λ，μ∈R）．
证明三个向量的终点在一直线上的充要条件是λ+μ=1．

Answer 1

分析：从充分性和必要性俩方面证明，要证A、B、C三点共线，只需证明

AB

∥

AC

即可，利用向量的共线定理

解答：证明：（充分性）∵λ+μ=1∴λ=1-μ∴

c

=(1-μ)

a

+μ

b

即

c

-

a

=μ(

b

-

a

)即

AC

=μ

AB

即

AC

∥

AB

又A点为公共点∴A、B、C三点共线
（必要性）∵A、B、C三点共线∴

AC

∥

AB

∴

AC

=μ

AB

即

c

-

a

=μ(

b

-

a

)即

c

=(1-μ)

a

+μ

b

又

c

=λ

a

+μ

b

∴λ=1-μ即λ+μ=1
综上，原命题得证．

点评：本题考查利用向量的共线定理证明三点共线以及充要性的证明方法，难度不大．