Question

3．已知不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+y≤1\\ x-y≥-1\\ y≥0\end{array}\right.$所表示的平面区域为D，若直线（m+2）x-（m+1）y+2=0与平面区域D有公共点，则实数m的取值范围为（　　）

• A． （-4，0）
• B． [-4，0]
• C． （-∞，-4）∪（0，+∞）
• D． （-∞，-4]∪[0，+∞）

Answer 1

分析 本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+y≤1\\ x-y≥-1\\ y≥0\end{array}\right.$的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入（m+2）x-（m+1）y+2=0中，求出直线的斜率的范围，然后列出不等式求解m的范围即可．

解答 解：满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x+y≤1\\ x-y≥-1\\ y≥0\end{array}\right.$的平面区域如图示：

因为（m+2）x-（m+1）y+2=0过定点A（-2，-2）．
所以当（m+2）x-（m+1）y+2=0过点B（1，0）时，找到k=$\frac{0+2}{1+2}$=$\frac{2}{3}$
当（m+2）x-（m+1）y+2=0过点C（-1，0）时，对应k=$\frac{0+2}{-1+2}$=2．
又因为直线（m+2）x-（m+1）y+2=0与平面区域M有公共点．
所以$\frac{2}{3}$≤k≤2．
可得$\frac{2}{3}$≤$\frac{m+2}{m+1}$≤2，解得：m∈（-∞，-4]∪[0，+∞）．
故选：D．

点评 在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．