Question

14．已知各项为正数的数列{a_n}，满足$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{{a_n}+1}}$，n∈N*，其中a₁=1，S_n为其前n项的和．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列$\left\{{\left.{\frac{1}{S_n}}\right\}}\right.$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件推出数列{a_n}是等差数列，然后求解通项公式；
（Ⅱ）利用裂项消项法求解数列的和即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{{a_n}+1}}$即a_n+1-a_n=1，
所以数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，…2分
∴a_n=n…3分
（Ⅱ）${S_n}=\frac{n（n+1）}{2}$…5分
∴${T_n}=\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+…+\frac{1}{S_n}=2[\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{n（n+1）}]$
=$2[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$…7分
=$2（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{2n}{n+1}$…9分．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，数列求和的方法的应用，考查计算能力．