题目内容

已知 $数学公式$ 及 $数学公式$ ．
（1）分别求f（x）、g（x）的定义域，并求f（x）•g（x）的值；（2）求f（x）的最小值并说明理由；
（3）若 $数学公式$ ，是否存在满足下列条件的正数t，使得对于任意的正
数x，a、b、c都可以成为某个三角形三边的长？若存在，则求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．

解：（1）f（x）、g（x）的定义域均为（0，+∞）；
$\text{[math]}$ ．
（2）∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
易知函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在（-∞，1]上均为减函数，在[1，+∞）上均为增函数，
∴ $\text{[math]}$ ．
（3）∵ $\text{[math]}$ ，
∴若能构成三角形，只需 $\text{[math]}$ 恒成立．
由（1）知， $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．
由（2）知， $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
综上，存在 $\text{[math]}$ ，满足题设条件．
分析：（1）利用被开放数大于0可求函数的定义域，直接相乘化简即可；
（2）先考虑 $\text{[math]}$ ，再说明函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在（-∞，1]上均为减函数，在[1，+∞）上均为增函数，从未求出函数的最小值．
（3）利用构成三角形的条件，转化为恒成立问题利用（1）（2）的结论可确定．
点评：本题主要考查利用函数单调性求函数的最值，将是否存在性问题转化为恒成立问题时解题的关键．