Question

5．若函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}-3x-a$有三个不同的零点，则实数a的取值范围是$（-9，\frac{5}{3}）$．

Answer 1

分析 根据题意求出函数的导数并且通过导数求出出原函数的单调区间，进而得到原函数的极值，因为函数存在三个不同的零点，所以结合函数的性质可得函数的极大值大于0，极小值小于0，即可单调答案．

解答 解：由题意可得：f′（x）=x²-2x-3．
令f′（x）＞0，则x＞3或x＜-1，令f′（x）＜0，则-1＜x＜3，
所以函数f（x）的单调增区间为（-∞，-1）和（3，+∞），减区间为（-1，3），
所以当x=-1时函数有极大值f（-1）=$\frac{5}{3}$-a，当x=3时函数有极小值f（3）=-9-a，
因为函数f（x）存在三个不同的零点，
所以f（-1）＞0并且f（3）＜0，
解得：-9＜c＜$\frac{5}{3}$．
所以实数a的取值范围是 （-9，$\frac{5}{3}$）．
故答案为：$（-9，\frac{5}{3}）$．

点评 解决此类问题的关键是熟练掌握利用导数球函数的单调区间与函数的极值，并且掌握通过函数零点个数进而判断极值点与0的大小关系．