Question

18．如图，正方形ABP₇P₅的边长为2，P₁，P₄，P₆，P₂是四边的中点，AB是正方形的其中一条边，P₁P₆与P₂P₄相交于点P₃，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{A{P}_{i}}$（i=1，2，…，7）的不同值的个数为（　　）

• A． 7
• B． 5
• C． 3
• D． 1

Answer 1

分析 首先建立平面直角坐标系，利用平面向量的数量积公式分别计算即可．

解答 解：建立平面直角坐标系如图：A（0，0），B（0，2），P₁（0，1），P₂（1，0），P₃（1，1），P₄（1，2），P₅（2，0），P₆（2，1），P₇（2，2），
所以$\overrightarrow{AB}$=（0，2），$\overrightarrow{A{P}_{1}}$=（0，1），$\overrightarrow{A{P}_{2}}$=（1，0），
$\overrightarrow{A{P}_{3}}$=（1，1），$\overrightarrow{A{P}_{4}}$=（1，2），$\overrightarrow{A{P}_{5}}$=（2，0），
$\overrightarrow{A{P}_{6}}$=（2，1），$\overrightarrow{A{P}_{7}}$=（2，2），
所以$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{A{P}_{1}}$=2，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{A{P}_{2}}$=0，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{A{P}_{3}}$=2，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{A{P}_{4}}$=4，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{A{P}_{5}}$=0，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{A{P}_{6}}$=2，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{A{P}_{7}}$=4，
所以$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{A{P}_{i}}$（i=1，2，…，7）的不同值有0，2，4，个数为3；
故选C

点评 本题考查了坐标法解决平面向量的运算；关键是正确建系，利用向量的坐标运算解答．