Question

5．设函数f（x）=6x³+3（a+2）x²+2ax．
（I）若f（x）的两个极值点为x₁，x₂，且x₁x₂=1，求实数a的值；
（II）是否存在实数a，使得f（x）是R上的单调函数？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，由题意可知导函数有两个零点x₁，x₂，利用根与系数的关系结合x₁•x₂=1求得a值；
（Ⅱ）求出原函数的导函数，导函数为二次项系数大于0的二次函数，若f（x）是R上的单调函数，则导函数在实数集上大于等于0恒成立，转化为△小于等于求解．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=6x³+3（a+2）x²+2ax，
f′（x）=18x²+6（a+2）x+2a．
∵f（x）的两个极值点为x₁，x₂，且x₁•x₂=1，
∴方程18x²+6（a+2）x+2a=0的两根为x₁，x₂，且x₁•x₂=1，
∴$\frac{2a}{18}=1$，得a=9；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f′（x）=18x²+6（a+2）x+2a．
若存在实数a，使得f（x）是R上的单调函数，
则f′（x）≥0，即18x²+6（a+2）x+2a≥0．
∴△=36（a+2）²-4×18×2a≤0，
即36a²+144≤0，此时显然不成立．
∴不存在实数a，使得f（x）是R上的单调函数．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的极值点与导函数零点间的关系的应用，是中档题．