Question

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{AO}$．
（1）若点P的坐标为（2，$\sqrt{2}$），求椭圆的方程；
（2）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且$\overrightarrow{BP}$=m$\overrightarrow{BC}$，直线OA，OB的斜率之积为-$\frac{1}{2}$，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）由已知得A（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），代入椭圆，得$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1$，再由椭圆离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由此能求出椭圆方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），推导出P（-2x₁，-2y₁），（-2x₁-x₂，-2y₁-y₂）=m（x₃-x₂，y₃-y₂），从而得到$\frac{4}{{m}^{2}}$（$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}$）+$\frac{（m-1）^{2}}{{m}^{2}}$（$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}$）-$\frac{4（m-1）}{{m}^{2}}$（$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{b}^{2}}$）=1，由直线OA，OB的斜率之积为-$\frac{1}{2}$，得到$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{b}^{2}}$=0，由此能求出实数m的值．

解答 解：（1）∵A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{AO}$，点P的坐标为（2，$\sqrt{2}$），
∴A（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），代入椭圆，得$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1$，①
∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，②
联立①②，解得a²=2，b²=1，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
∵$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{AO}$，∴P（-2x₁，-2y₁），
∵$\overrightarrow{BP}$=m$\overrightarrow{BC}$，∴（-2x₁-x₂，-2y₁-y₂）=m（x₃-x₂，y₃-y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}_{1}-{x}_{2}=m（{x}_{3}-{x}_{2}）}\\{-2{y}_{1}-{y}_{2}=m（{y}_{3}-{y}_{2}）}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}=\frac{m-1}{m}{x}_{2}-\frac{2}{m}{x}_{1}}\\{{y}_{3}=\frac{m-1}{m}{y}_{2}-\frac{2}{m}{y}_{1}}\end{array}\right.$，
代入椭圆，得$\frac{（\frac{m-1}{m}{x}_{2}-\frac{2}{m}{x}_{1}）^{2}}{{a}^{2}}+\frac{（\frac{m-1}{m}{y}_{2}-\frac{2}{m}{y}_{1}）^{2}}{{b}^{2}}$=1，
即$\frac{4}{{m}^{2}}$（$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}$）+$\frac{（m-1）^{2}}{{m}^{2}}$（$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}$）-$\frac{4（m-1）}{{m}^{2}}$（$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{b}^{2}}$）=1，③
∵A，B在椭圆上，∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，④
∵直线OA，OB的斜率之积为-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
结合②，知$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{b}^{2}}$=0，⑤
将④⑤代入③，得$\frac{4}{{m}^{2}}+\frac{（m-1）^{2}}{{m}^{2}}$=1，
解得m=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查概率方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．