Question

（类型A）已知数列{a_n}的前项和为S_n，a₁=-

2

3

，满足Sn+

1

Sn

+2=an（n≥2），计算S₁，S₂，S₃，S₄，猜想S_n的表达式并用数学归纳法加以证明
（类型B）已知数列{a_n}的前项和为S_n，a₁=-

2

3

，满足S_n=-

1

Sn-1+2

（n≥2），计算S₁，S₂，S₃，S₄，猜想S_n的表达式并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

分析：（类型B）解：由S1= a1=-

2

3

及Sn=-

1

Sn-1+2

，把n=1，2，3，4分别代入可求，结合所求值可猜想：Sn=- 

n+1

n+2

证明：（1）当n=1时，
（2）考虑利用数学归纳法证明

解答：（类型B）解：∵S1= a1=-

2

3

∴S2=-

1

S1+2

= -

3

4

，S3=-

1

S2+2

=-

4

5

，S4=-

1

S3+2

=-

5

6

猜想：Sn=- 

n+1

n+2

（2）假设当n=k时成立，即Sk=-

k+1

k+2

当n=k+1时，Sk+1=-

1

Sk+2

=-

1

- k+1 k+2 +2

=-

k+2

k+3

=-

(k+1)+1

(k+1)+2

对n=k+1时成立
综上可得对任意n∈N^*都成立，猜想正确

点评：本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的项目，及利用数学归纳法对猜想进行证明，而数学归纳法的应用种要注意由归纳假设n=k成立时到n=k+1得证明是归纳法证明的关键．