Question

10．设公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n．若S₃=a₂²，且S₁，S₂，S₄成等比数列，则a_n=2n-1 S_n=n²．

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，由已知列关于首项和公差的方程组，求解方程组得首项和公差，则答案可求．

解答 解：设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
由S₃=a₂²，且S₁，S₂，S₄成等比数列，
得$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+3d=（{a}_{1}+d）^{2}}\\{（2{a}_{1}+d）^{2}={a}_{1}（4{a}_{1}+6d）}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=2}\end{array}\right.$．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，${S}_{n}=1×n+\frac{n（n-1）×2}{2}={n}^{2}$．
故答案为：2n-1，n²．

点评 本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．