Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和，若

S2n

Sn

（n∈N^*）是非零常数，则称该数列为“和等比数列”．若数列{C_n}是首项为C₁，公差为d（d≠0）的等差数列，且数列{C_n}是“和等比数列”，则d与C₁的关系式为

d=2C₁

．

Answer 1

分析：根据等差数列的前n项和公式，先求S_n和S_2n，然后根据“和等比数列”的定义，得到

S2n

Sn

为非零常数，从而得到d与C₁的关系．

解答：解：数列{C_n}是首项为C₁，公差为d（d≠0）的等差数列，
则S_n=nC₁+

n(n-1)

2

d，
S_2n=2nC₁+

2n(2n-1)

2

d，
∵数列{C_n}是“和等比数列”，
∴

S2n

Sn

为非零常数，设

S2n

Sn

=x，（x≠0）
即

2nC1+ 2n(2n-1)d 2

nC1+ n(n-1)d 2

=x，
整理得

4C1+2(2n-1)d

2C1+(n-1)d

=x，
∴4C₁+2（2n-1）d=x[2C₁+（n-1）d]，
即4C₁+4nd-2d=2C₁x+（n-1）xd，
∴4C₁+4nd-2d=2C₁x+nxd-xd，
则

x=4 4C1-2d=2C1x-xd

，
∴

x=4 4C1-2d=8C1-4d

，
即4C₁=2d，
解得d=2C₁．
故答案为：d=2C₁

点评：点评：本题考主要查和等比关系的确定和性质，解答的关键是正确理解“和等比数列”的定义，并能根据定义构造出满足条件的方程．考查学生的运算推导能力．