Question

9．三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形，侧棱AA₁与底边AB，AC所成的角均为60°．若顶点A₁在下底面的投影恰在底边BC上，则该三棱柱的体积为3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作出示意图，由AA₁与AB，AC所成的角相等可知AA₁在底面的射影为角BAC的角平分线，利用勾股定理和余弦定理求出棱柱的高，代入体积公式计算．

解答 解设A₁在底面ABC的投影为D，连结AD，A₁B，
∵AA₁与AB，AC所成的角均为60°，∴AD为∠BAC的平分线，′
∵△ABC是等边三角形，∴D为BC的中点．
∴BD=1，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
设三棱柱的高A₁D=h，则AA₁=$\sqrt{A{D}^{2}+{A}_{1}{D}^{2}}$=$\sqrt{{h}^{2}+3}$，A₁B=$\sqrt{{A}_{1}{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{h}^{2}+1}$．
在△AA₁B中，由余弦定理得cos60°=$\frac{A{{A}_{1}}^{2}+A{B}^{2}-{A}_{1}{B}^{2}}{2AB•A{A}_{1}}=\frac{1}{2}$，
即$\frac{{h}^{2}+3+4-（{h}^{2}+1）}{2\sqrt{{h}^{2}+3}}$=1，解得h=$\sqrt{6}$．
∴三棱柱的体积V=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}×\sqrt{6}$=3$\sqrt{2}$．
故答案为：3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了棱柱的结构特征和体积计算，属于中档题．