Question

7．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥BC，AB=BC，AC=2a，BB₁=3a，D是A₁C₁的中点，点F在线段AA₁上，当AF=a或2a时，CF⊥平面B₁DF．

Answer 1

分析 本题适合建立空间坐标系得用向量法解决这个立体几何问题，建立空间坐标系，给出有关点的坐标，设出点F的坐标，由线面垂直转化为线的方向向量与面的法向量垂直，利用二者内积为零建立关于参数的方程参数，即可计算得解．

解答 解：由题意可得直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
BB₁⊥面ABC，∠ABC=$\frac{π}{2}$．
以B点为原点，BA、BC、BB₁分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系．
因为AC=2a，∠ABC=90°，所以AB=BC=$\sqrt{2}$a，
从而B（0，0，0），A（$\sqrt{2}$a，0，0），C（0，$\sqrt{2}$a，0），B₁（0，0，3a），A₁（ $\sqrt{2}$a，0，3a），C₁（0，$\sqrt{2}$a，3a），D（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，3a），
所以 $\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（$\sqrt{2}$a，-$\sqrt{2}$a，3a），
设AF=x，则F（$\sqrt{2}$a，0，x），$\overrightarrow{CF}$=（$\sqrt{2}$a，-$\sqrt{2}$a，x），
$\overrightarrow{{B}_{1}F}$=（$\sqrt{2}$a，0，x-3a），$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0）．
$\overrightarrow{CF}$•$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=$\sqrt{2}$a•$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+（-$\sqrt{2}$a）•$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+x•0=0，
所以$\overrightarrow{CF}$⊥$\overrightarrow{{B}_{1}D}$．
要使CF⊥平面B₁DF，只需CF⊥B₁F．
由$\overrightarrow{CF}$•$\overrightarrow{{B}_{1}F}$=2a²+x（x-3a）=0，得x=a或x=2a，
故当AF=a或2a时，CF⊥平面B₁DF．
故答案为：a或2a．

点评 本题主要考查了用空间向量为工具解决立体几何问题，此类题关键是找清楚线的方向向量、面的法向量以及这些向量内积为0、共线等与立体几何中线面、面面位置关系的对应，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．