Question

7．若椭圆$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1（m＞n＞0）$与曲线x²+y²=m-n无交点，则椭圆的离心率e的取值范围为$（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$．

Answer 1

分析 椭圆$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1（m＞n＞0）$与曲线x²+y²=m-n无交点，可得m-n＞m，或0＜m-n＜n，利用椭圆的离心率e=$\sqrt{1-\frac{n}{m}}$，即可得出．

解答 解：∵椭圆$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1（m＞n＞0）$与曲线x²+y²=m-n无交点，
∴m-n＞m，或0＜m-n＜n，
m-n＞m，舍去．
由0＜m-n＜n，可得：$\frac{n}{m}$＞$\frac{1}{2}$．
则椭圆的离心率e=$\sqrt{1-\frac{n}{m}}$∈$（0，\frac{\sqrt{2}}{2}）$．
故答案为：$（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．