Question

11．设数列{a_n}的前n项和为S_n，a_n是S_n和1的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列b_n=a_n•log₂a_n+1，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过等差中项的性质可知2a_n=S_n+1，并与2a_n-1=S_n-1+1（n≥2）作差，进而整理可知数列{a_n}是首项为1、公比为2的等比数列，计算即得结论；
（Ⅱ）求解得出b_n=a_n•log₂a_n=n•2^n-1，利用错位相减法求解数列的和．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n是S_n和1的等差中项，
∴2a_n=S_n+1，2a_n-1=S_n-1+1（n≥2），
两式相减得：2a_n-2a_n-1=a_n，即a_n=2a_n-1，
又∵2a₁=S₁+1，即a₁=1，
∴数列{a_n}是首项为1、公比为2的等比数列，
∴a_n=2^n-1；
（Ⅱ）∵由（Ⅰ）知，a_n=2^n-1．
∴b_n=a_n•log₂a_n+1=n•2^n-1．
∴T_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1，①
2T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n•2ⁿ，②
①-②得出：-T_n=1+（2¹+2²+2³+…+2^n-1）-n•2ⁿ=1+$\frac{1-{2}^{n-1}}{1-2}$-n•2ⁿ=（$\frac{1}{2}$-n）×2ⁿ，
∴T_n=（$\frac{1}{2}$-n）×2ⁿ．

点评 本题考察了数列的和与通项的关系，利用错位相减法求解数列的和，考察了学生的化简运算能力，属于难题．