题目内容

ABC的面积S满足 $数学公式$ ≤S≤3，且 $数学公式$ • $数学公式$ =6，AB与BC的夹角为θ．
（1）求θ的取值范围．
（2）求函数f（θ）=sin²θ+2sinθcosθ+3cos²θ的最小值．

解：（1）由题意知： $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =| $\text{[math]}$ || $\text{[math]}$ |cosθ=6，①
S= $\text{[math]}$ | $\text{[math]}$ || $\text{[math]}$ |sin（π-θ）
= $\text{[math]}$ | $\text{[math]}$ || $\text{[math]}$ |sinθ，②
②÷①得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ tanθ，即3tanθ=S．
由 $\text{[math]}$ ≤S≤3，得 $\text{[math]}$ ≤3tanθ≤3，即 $\text{[math]}$ ≤tanθ≤1．
又θ为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角，
∴θ∈[0，π]，∴θ∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]．
（2）f（θ）=sin²θ+2sinθcosθ+3cos²θ
=1+sin2θ+2cos²θ
=2+sin2θ+cos2θ
=2+ $\text{[math]}$ sin（2θ+ $\text{[math]}$ ）．
∵θ∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，∴2θ+ $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]．
∴当2θ+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，θ= $\text{[math]}$ 时，f（θ）取最小值3．
分析：（1）数量积列等式，三角形面积列不等式，消元可解θ的取值范围．
（2）通过三角函数的基本关系，以及二倍角公式化简函数f（θ），根据θ的取值范围，求最小值．
点评：本题考查平面向量数量积的运算，三角函数的最值，三角函数的基本关系，二倍角公式等知识，是中档题．