Question

1．设函数f（x）=（ax-1）（x-1）．
（1）若不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求实数a的值；
（2）当a＞0时，解关于x的不等式f（x）＜0．

Answer 1

分析 （1）由已知得到对应方程的根为1，2，代入对应方程求得a；
（2）当a＞0时，不等式f（x）＜0等价于（x-$\frac{1}{a}$）（x-1）＜0，针对$\frac{1}{a}$与1的关系讨论根的大小，得到不等式的解集．

解答 解：（1）依题意知a＞0且1和2为方程（ax-1）（x-1）=0的两根，∴$\frac{1}{a}=2$，∴$a=\frac{1}{2}$
（2）不等式f（x）＜0可化为（ax-1）（x-1）＜0．，
当a＞0时，不等式f（x）＜0等价于（x-$\frac{1}{a}$）（x-1）＜0，
①当0＜a＜1时，$\frac{1}{a}$＞1，
不等式（x-$\frac{1}{a}$）（x-1）＜0，的解集为{x|1＜x＜$\frac{1}{a}$}，
即原不等式的解集为{x|1＜x＜$\frac{1}{a}$}，
②当a=1时，不等式（x-$\frac{1}{a}$）（x-1）＜0，的解集为∅，
即原不等式的解集为∅，
③当a＞1时，不等式（x-$\frac{1}{a}$）（x-1）＜0的解集为{x|$\frac{1}{a}$＜x＜1}，
即原不等式的解集为{x|$\frac{1}{a}$＜x＜1}．

点评 本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系以及讨论求一元二次不等式的解集；注意讨论的要不重不漏．