Question

3．在公差不为零的等差数列{a_n}中，a₁=2，且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等比数列等比中项可知：（a₁+d）²=a₁•（a₁+3d），即可求得d的值，根据等差通项公式即可求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），利用“裂项法”即可求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d（d≠0），…（1分）
由题意知（a₁+d）²=a₁•（a₁+3d），…（2分）
即（2+d）²=2•（2+3d），即d（d-2）=0，
又d≠0，
∴d=2．…（3分）
a_n=2+（n-1）×2=2n，
故数列{a_n}的通项公式a_n=2n．  …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）…（7分）
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，…（8分）
=$\frac{1}{4}$[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]…（9分）
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）   …（10分）
=$\frac{n}{4（n+1）}$．    …（11分）
∴数列数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{n}{4（n+1）}$． …（12分）

点评 本题考查等差数列通项公式，等比数列等比中项的性质，“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．